Probabilité : Loi des grands nombres - Spécialité

Inégalité de concentration

Exercice 1 : Déterminer la taille d'un échantillon connaissant la loi de probabilité

Rosa étudie la qualité de ses services au tennis. Elle associe une double faute à la valeur -1, un service gagnant à la valeur 1 et les autres services à la valeur 0.

\(x_i\)	\( -1 \)	\( 0 \)	\( 1 \)
\( P( X = x_i ) \)	\( 0\mbox{,}05 \)	\( 0\mbox{,}65 \)	\( 0\mbox{,}3 \)

Combien de services doit-elle réaliser au minimum pour être sûre au seuil de \( 97 \) % que la moyenne obtenue d'un échantillon \( \left( X_{1},..., X_{n} \right) \) de taille \( n \) de la variable aléatoire \( X \) soit strictement comprise entre \( 0\mbox{,}2 \) et \( 0\mbox{,}3 \).

Exercice 2 : Estimer la taille d’un échantillon

\(X\) est une variable aléatoire d’espérance 230 et de variance 1600. \(X_1,...X_n\) est un échantillon de taille \(n\) de la variable aléatoire \(X\).

Donner les résultats arrondis au centième si nécessaire.
Donner un majorant de \(P( |X-230| \geq 90 ) \).

Donner le plus petit entier \(n\) tel que \( P(|M_n-230|\lt 90) \gt 0,8 \).

Quelle est la limite de la moyenne de cet échantillon quand \(n\) tend vers \( +\infty \) ?

Exercice 3 : Déterminer la taille d'un échantillon connaissant la loi de probabilité

Magali étudie la qualité de ses services au tennis. Elle associe une double faute à la valeur -1, un service gagnant à la valeur 1 et les autres services à la valeur 0.

\(x_i\)	\( -1 \)	\( 0 \)	\( 1 \)
\( P( X = x_i ) \)	\( 0\mbox{,}1 \)	\( 0\mbox{,}8 \)	\( 0\mbox{,}1 \)

Combien de services doit-elle réaliser au minimum pour être sûre au seuil de \( 93 \) % que la moyenne obtenue d'un échantillon \( \left( X_{1},..., X_{n} \right) \) de taille \( n \) de la variable aléatoire \( X \) soit strictement comprise entre \( -0\mbox{,}1 \) et \( 0\mbox{,}1 \).

Exercice 4 : Estimer la taille d’un échantillon

\(X\) est une variable aléatoire d’espérance 190 et de variance 900. \(X_1,...X_n\) est un échantillon de taille \(n\) de la variable aléatoire \(X\).

Donner les résultats arrondis au centième si nécessaire.
Donner un majorant de \(P( |X-190| \geq 50 ) \).

Donner le plus petit entier \(n\) tel que \( P(|M_n-190|\lt 50) \gt 0,8 \).

Quelle est la limite de la moyenne de cet échantillon quand \(n\) tend vers \( +\infty \) ?

Exercice 5 : Déterminer la taille d'un échantillon connaissant la loi de probabilité

Iban étudie la qualité de ses services au tennis. Il associe une double faute à la valeur -1, un service gagnant à la valeur 1 et les autres services à la valeur 0.

\(x_i\)	\( -1 \)	\( 0 \)	\( 1 \)
\( P( X = x_i ) \)	\( 0\mbox{,}1 \)	\( 0\mbox{,}6 \)	\( 0\mbox{,}3 \)

Combien de services doit-il réaliser au minimum pour être sûr au seuil de \( 93 \) % que la moyenne obtenue d'un échantillon \( \left( X_{1},..., X_{n} \right) \) de taille \( n \) de la variable aléatoire \( X \) soit strictement comprise entre \( 0\mbox{,}15 \) et \( 0\mbox{,}25 \).

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